cho dãy :\(\hept{\begin{cases}a_1=a_2=1\\a_n=\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-1}}\end{cases}}\) \(\left(n\ge3,n\in N\right)\)
Chung minh \(a_n\) nguyên với mọi số tự nhiên n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2021
a.
\(\Leftrightarrow na_{n+2}-na_{n+1}=2\left(n+1\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=2.\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\)
Đặt \(b_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=1\\b_{n+1}=2b_n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b_n=2^{n-1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n.2^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow a_{n+1}-\left[\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)-1\right]2^{n+1}=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\)
Đặt \(c_n=a_n-\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=a_1-\left[\dfrac{1}{2}-1\right]2^1=2\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_n=\left[\dfrac{1}{2}n-1\right]2^n+2=\left(n-2\right)2^{n-1}+2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2021
b.
Câu b này đề sai
Với \(n=1\Rightarrow\sqrt{a_1-1}=0< \dfrac{1\left(1+1\right)}{2}\)
Với \(n=2\Rightarrow\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}=0+1< \dfrac{2\left(2+1\right)}{2}\)
Có lẽ đề đúng phải là: \(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}\ge\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{a_n-1}\ge n-1\) ; \(\forall n\in Z^+\)
Hay: \(\sqrt{\left(n-2\right)2^{n-1}+1}\ge n-1\)
\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)2^{n-1}+2n\ge n^2\)
- Với \(n=1\Rightarrow-1+2\ge1^2\) (đúng)
- Với \(n=2\Rightarrow0+4\ge2^2\) (đúng)
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(\left(k-2\right)2^{k-1}+2k\ge k^2\)
Ta cần chứng minh: \(\left(k-1\right)2^k+2\left(k+1\right)\ge\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)2^k+1\ge k^2\)
Thật vậy: \(\left(k-1\right)2^k+1=2\left(k-2\right)2^{k-1}+2^k+1\ge2k^2-4k+2^k+1\)
\(\ge2k^2-4k+5=k^2+\left(k-2\right)^2+1>k^2\) (đpcm)
Do đó:
\(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}>0+1+...+n-1=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)
12 tháng 2 2018
cho phân số 95/149, bớt tử số và mẫu số cho cùng 1 số a thì ta có phân số mới rút gọn được thành 3/5.tìm số a
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
22 tháng 1 2018
Ta thấy \(a_3=a_1.a_2=-1;a_4=a_2.a_3=1;a_5=-1;...\)
Vậy nên ta có dãy các giá trị a1 ; a2 ; ... ; a100 là: 1 - 1 -1 1 -1 -1 1 ...
Công thức tổng quát : \(a_{3n+1}=1;a_{3n+2}=a_{3n}=-1\)
Vì 100 = 3.33 + 1 nên a100 = 1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(\Leftrightarrow n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)=\left(n+1\right)\left(a_{n+1}-a_n\right)+3n\left(n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_{n+2}-a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}+3\)
Đặt \(\dfrac{a_{n+1}-a_n}{n}=b_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=\dfrac{a_2-a_1}{1}=-6\\b_{n+1}=b_n+3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b_n\) là cấp số cộng với công sai 3
\(\Rightarrow b_n=b_1+\left(n-1\right)d=-6+3\left(n-1\right)=3n-9\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n\left(3n-9\right)=3n^2-9n\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-\left(n+1\right)^3+6\left(n+1\right)^2-5\left(n+1\right)=a_n-n^3+6n^2-5n\)
Đặt \(a_n-n^3+6n^2-5n=c_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c_1=6-1+6-5=6\\c_{n+1}=c_n=...=c_1=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_n=n^3-6n^2+5n+6\)
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
\(a_3=3,a_4=\frac{11}{3}\) nên đề sai rồi nha bạn.